분수와 소수의 관계

▶ 1을 10 등분한 하나를 분수로는 , 소수로는 0.1이라고 한다.
    그러므로 =0.1, =0.2, …, =0.5, =0.6, …, =0.9 , =1이다.

▶ 1을 100 등분한 하나를 분수로는 , 소수로는 0.01이라고 한다.
    그러므로 =0.01, =0.02, …, =0.56, =0.57, …, =0.99, =1이다.

▶ 1을 1000 등분한 하나를 분수로는 , 소수로는 0.001이라고 한다.
    그러므로=0.001, =0.002, …, =0.042, =0.43, …, =0.715,     =0.716, …, =0.999 , =1이다.

분수를 소수로 나타내기

▶ 분모가 10인 분수로 고쳐서 분수를 소수로 나타낸다.
    

▶ 분모가 100인 분수로 고쳐서 분수를 소수로 나타낸다.
    

▶ 분모가 1000인 분수로 고쳐서 소수로 나타낸다.
    

소수를 분수로 나타내기

분수와 소수의 크기 비교

▶ 소수를 분수로 고쳐 분수끼리의 크기를 비교한다.
    

입체도형과 각기둥

▶ 입체도형 가, 다, 사와 같이 위와 아래의 면이 서로 평행이고 합동인 다각형으로
    되어 있는 입체도형을 각기둥이라고 한다.

각기둥의 밑면과 옆면

▶ 각기둥에서 면 ㄱㄴㄷ과 면 ㄹㅁㅂ처럼 서로 만나지 않는 두 면을 밑면이라고 한다.

▶ 각기둥에서 두 밑면은 서로 평행이고, 합동이다.

▶ 위 각기둥에서 면 ㄱㄹㅁㄴ, 면 ㄴㅁㅂㄷ, 면 ㄷㅂㄹㄱ과 같이 밑면에 수직인 면을 옆면이
    라고 한다.

▶ 각기둥에서 옆면의 모양은 직사각형이다.

각기둥의 모서리, 꼭지점, 높이와 각기둥의 이름

<각기둥의 모서리, 꼭지점, 높이>
▶ 각기둥에서 모서리는 선 ㉠처럼 면과 면이 만나는 선을 말한다.

▶ 각기둥에서 꼭지점은 점 ㉡처럼 모서리와 모서리가 만나는 점을 말한다.

▶ 각기둥에서 높이는 선 ㉢처럼 두 밑면 사이의 거리를 말한다.

<각기둥의 이름>
▶ 각기둥에서 밑면이 삼각형이면 삼각기둥이라 한다.

▶ 각기둥에서 밑면이 사각형이면 사각기둥이라 한다.

▶ 각기둥에서 밑면이 오각형이면 오각기둥이라 한다.

각뿔

▶ 입체도형 가, 사와 같이 밑면이 다각형이고 옆면이 삼각형인 입체도형을 각뿔이라 한다.

▶ 다음 각뿔에서 면 ㄴㄷㄹㅁ처럼 밑에 있는 면을 밑면이라 하고, 옆으로 둘러싸인 면을
    옆면이라 한다.

각뿔의 모서리, 꼭지점, 높이, 각뿔의 꼭지점과 각뿔의 이름

▶ 각뿔에서 모서리는 ㉠처럼 면과 면이 만나는 선이다.

▶ 각뿔에서 꼭지점은 ㉡처럼 모서리와 모서리가 만나는 점이다.

▶ 각뿔의 꼭지점은 ㉢처럼 옆면을 이루는 모든 삼각형의 공통인 꼭지점이다.

▶ 각뿔의 높이는 ㉣처럼 꼭지점에서 밑면에 수직인 선분의 길이이다.

▶ 각뿔의 이름은 밑면의 모양에 따라 밑면이 삼각형이면 삼각뿔, 밑면이 사각형이면 사
    각뿔, 밑면이 오각형이면 오각뿔, … 이라고 한다.

각기둥의 전개도

▶ 위 그림처럼 각기둥의 모서리를 따라 잘라서 펼친 그림을 각기둥의 전개도라 한다.
    이 전개도를 다시 접으면 다음과 같은 삼각기둥이 된다.

각뿔의 전개도

▶ 위의 오른쪽 그림과 같이 각뿔의 모서리를 따라 잘라서 펼친 그림을 삼각뿔의 전개도라
    한다.

직육면체와 정육면체의 겉넓이

▶ 직육면체의 겉넓이
       직육면체의 여섯 면의 넓이의 합을 직육면체의 겉넓이라고 한다.

    ① 여섯 면의 넓이의 합을 구한다.
            (2×3)+(2×3)+(2×4)+(2×4)+(3×4)+(3×4)=52(㎠)

    ② 직육면체의 마주 보는 면은 서로 합동이다. 따라서 서로 다른 세 면의 넓이를 합한 후
        이를 2배 한다.
            {(2×3)+(2×4)+(3×4)}×2=52(㎠)

    ③ 밑면 2개와 옆면 4개가 연결된 긴 직사각형 모양의 옆넓이의 합을 구한다.

          (밑면의 넓이) = 2×3 = 6 (㎠)
          (옆넓이) = ( 3+2+3+2 )×4 = 40 (㎠)
          (직육면체의 겉넓이) = (밑넓이)×2 + (옆넓이)
                                        = (2×3)×2 + ( 3+2+3+2 )×4
                                        = 52 (㎠)

▶ 정육면체의 겉넓이

      정육면체는 각 면이 합동인 6개의 정사각형이므로, 정육면체의 겉넓이는 한 면의
      넓이의 6배이다.

          (정육면체의 겉넓이)= ( 2×2 ) × 6 = 4 × 6 = 24 (㎠)

부피의 비교

▶ 가로, 세로, 높이를 직접 비교하기

         
       ⇒ 길이를 직접 비교해도, 어느 상자의 부피가 더 크다고 바로 말할 수 없다.

▶ 두 상자 안에 같은 물체를 넣어보고 몇 개씩 들어가는지 알아보기

    ㆍ주사위가 두 상자에 각각 몇 개씩 들어가는지 알아보니, (가)에는 36개, (나)에는 30개
       들어간다. 따라서 (가)의 부피가 더 크다.
 

    ㆍ즉, 두 상자의 부피를 직접 비교할 수는 없으나, 두 상자 안에 같은 모양의 물체가 몇
       번 들어가는지를 통하여 간접적으로 부피를 비교할 수 있다.

부피의 단위

▶ 부피의 단위

    ㆍ입체도형의 부피를 나타내기 위하여 한 모서리가 1㎝인 정육면체의 부피를 단위로
       사용한다.
       이 정육면체의 부피를 1㎤라 하고, 일세제곱센티미터라고 읽는다.

▶ 쌓기나무로 알아본 직육면체의 부피
    ㆍ아래의 직육면체와 같도록 부피가 1㎤인 정육면체 모양의 쌓기나무로 다음과 같이
       쌓았다.

    ㆍ가로 2줄, 세로 4줄, 높이 3층으로 쌓았으므로 한 층에 8개씩 3층으로, 모두 24개의
        쌓기나무로 쌓았다.
    ㆍ쌓기나무 1개는 부피가 1㎤이므로 이 직육면체의 부피는 24㎤이다.

직육면체의 부피

▶ 쌓기나무로 직육면체의 부피 알아보기

    ㆍ쌓기나무가 한 층에 가로로 4줄, 세로로 3줄이므로 한 층에 있는 쌓기나무는
        (가로)×(세로)= 4×3 = 12(개)이다.
    ㆍ2층으로 구성되어 있으므로 전체 쌓기나무의 개수는 12×2 = 24(개)이다.
    ㆍ쌓기나무 1개의 부피는 1㎤ 이므로 이 직육면체의 부피는 24㎤ 이다.

▶ 직육면체의 부피 구하는 방법

   ㆍ직육면체 밑면의 가로는 4㎝, 세로는 3㎝ 이므로
       (밑넓이) = (밑면의 가로의 길이)×(밑면의 세로의 길이) = 4 × 3 = 12 (㎠) 이다.
    ㆍ높이는 2㎝이므로 직육면체의 부피는
        (직육면체의 부피) = (밑넓이)×(높이)
                                   = (밑면의 가로의 길이)×(밑면의 세로의 길이)×(높이)
                                   = 4 × 3 × 2
                                   = 12 × 2
                                   = 24 (㎤)

 정육면체의 부피

▶ 쌓기 나무로 정육면체의 부피 알아보기

    ㆍ쌓기나무가 가로로 3줄, 세로로 3줄이다.
    ㆍ한 층에 놓인 쌓기나무의 개수는 (가로)×(세로)= 3×3 = 9(개)이다.
    ㆍ3층까지 놓인 쌓기나무의 개수는 9×3 = 27(개)이다.
    ㆍ쌓기나무 1개의 부피는 1㎤ 이므로 이 직육면체의 부피는 27㎤ 이다.

▶ 정육면체의 부피 구하는 방법

    ㆍ정육면체의 부피는 직육면체의 부피를 구하는 방법과 같이 구할 수 있다.
    ㆍ또한 정육면체는 각 모서리의 길이가 같으므로, 한 모서리의 길이를 세 번 곱해서
       구할 수 있다.

          (정육면체의 부피) =  (밑넓이)×(높이)
                                     =  (밑면의 가로의 길이)×(밑면의 세로의 길이)×(높이)
                                     =  (한 모서리의 길이)×(한 모서리의 길이)×(한 모서리의 길이)
                                     =  3 × 3 × 3
                                     =  27(㎤)

부피의 큰 단위

    ㆍ큰 입체의 부피를 나타내기 위하여 한 모서리가 1m인 정육면체의 부피를 단위로 사용
       한다. 이 정육면체의 부피를 1㎥라 하고, 일세제곱미터라고 읽는다.

▶ 1㎥와 1㎤의 관계

    ㆍ1㎥는 한 모서리가 1m인 정육면체의 부피로 1m=100㎝를 이용하여 ㎤ 단위로 고치면
           1㎥ = 1m × 1m × 1m
                 = 100㎝ × 100㎝ × 100㎝
                 = 1000000 (㎤)
       즉 1㎥ = 1000000 ㎤이다.

부피와 들이 단위 사이의 관계

▶ 1L와 1000㎤의 관계

    ㆍ물건의 들이를 나타내기 위하여 안치수의 가로, 세로, 높이가 각각 10㎝인 단위를
       사용한다. 이 그릇의 들이를 1L라 하고, 일리터라고 읽는다.

▶ 1mL와 1㎤의 관계

    ㆍ작은 들이의 단위를 나타내기 위하여 안치수의 가로, 세로, 높이가 각각 1㎝인 단위를
       사용한다. 이 그릇의 들이를 1mL라 하고, 일밀리리터라고 읽는다.
 

▶ 1L와 1mL의 관계

    ㆍ1L=1000㎤ 이고 1mL=1㎤이므로 1L = 1000㎤ = 1000mL이다.

두 수의 비

  상진이는 13세, 미진이는 11세이다. 두 사람의 나이를 비교하기 위하여 13 : 11이라고
  나타낸다.
    이와 같이 두 값을 비교하기 위하여 기호 : 를 사용하여 나타낸 것을 '비'라고 한다.

    ▶ 13  : 11과 11 : 13을 구별하기 위해서 13 : 11을 '13대 11', '11에 대한 13의 비',
        '13의 11에 대한 비', '13과 11의 비'와 같이 여러 가지 방법으로 읽을 수 있다.

비율과 비의 값

▶ 기준이는 7자루의 연필을 가지고 있는데, 그 중에서 3자루는 새 연필이다.
    ㆍ전체 연필의 수에 대한 새 연필의 수의 비는 3 : 7이다.
       이 때, 기준량은 전체 연필의 수이고 이것을 1로 볼 때 새 연필은 이다.

▶ 기준량에 대한 비교하는 양의 크기를 비율이라고 한다.
    ㆍ3 : 7 에서 3은 비교하는 양이고, 7은 기준량이다.
       그러므로 3 : 7 의 비율은 이다.

▶ 기준량을 1로 볼 때, 비율을 비의 값이라고 한다. 3 : 7에서 기준량은 7이지만, 기준량을
    1로 볼 때의 비의 값은 이다.

백분율

▶ 기준량을 100으로 할 때의 비율을 백분율이라 하고, 기호%를 써서 나타내며,
     퍼센트라고 읽는다.

▶ 선희네 반은 40명이고, 그 중에서 안경을 쓴 학생은 16명이다. 선희네 반 전체 학생 수에
    대한 안경을 쓴 학생 수의 비율을 백분율로 나타내어 보자.
     ㆍ전체 학생 수에 대한 안경을 쓴 학생 수의 비를 나타내면
       (안경 쓴 학생 수) : (전체 학생 수) = 16 : 40

       이것을 비율로 나타내면

       16 : 40 ⇒ = 0.4

       비율을 백분율로 나타내기 비율에 100을 곱하면

       0.4 × 100 = 40(%)

▶ 백분율을 소수로 나타내는 방법

      백분율로 나타낸 수를 100으로 나눈다.

       25% =  = 0.25

할푼리

▶ 비율을 소수로 나타낼 때 소수 첫째 자리를 할, 소수 둘째 자리를 푼, 소수 셋째 자리를 리
    라고 한다.

비례식

▶ 3 : 4 와 6 : 8의 비의 값을 비교하여 보자.

    ㆍ3 : 4의 비의 값은 이고, 6 : 8의 비의 값은 = 이다.
    ㆍ3 : 4 와 6 : 8은 비의 값이 으로 같다.
    ㆍ이와 같이 비의 값이 같은 두 비를 등식으로 나타낸 식을 비례식이라고 한다.
    ㆍ비 3 : 4에서 3과 4를 비의 항이라 하고, 앞에 있는 3을 전항, 뒤에 있는 4를 후항이라
       한다.
    ㆍ비례식 3 : 4 = 6 : 8에서 바깥쪽에 있는 두 항 3과 8을 외항이라 하고, 안쪽에 있는 두
       항 4와 6을 내항이라 한다.

비의 성질

▶ 3 : 5의 비의 값을 구하고, 3 : 5의 전항과 후항에 2를 곱하여 비의 값을 구하여 보자.

    ㆍ3 : 5 =
    ㆍ(3×2) : (5×2) = 6 : 10 = =

▶ 16 : 28의 전항과 후항을 4로 나누어 비의 값을 구하여 보자.

    ㆍ(16 : 28의 비의 값) = =
    ㆍ(16÷4) : (28÷4) = 4 : 7 =

비의 성질의 이용

▶ 영진이네 반 학급 문고에는 소설책이 27권, 위인전이 18권이 있다. 학급 문고에 있는
    소설 책 수에 대한 위인전 수의 비를 가장 간단한 자연수의 비로 나타내어 보자.

    ㆍ영진이네 반의 학급 문고에 있는 소설책 수에 대한 위인전 수를 비로 나타내면

       이것을 가장 간단한 자연수의 비로 나타내기 위하여 두 항의 최대공약수 9로 나누면

▶ 이와 같이 가장 간단한 자연수의 비로 나타낼 때에는 비의 성질을 이용한다.

비례식의 성질

▶ 비례식 3 : 4 = 6 : 8에서 내항의 곱과 외항의 곱을 비교하여 보자.

    ㆍ내항은 4, 6이고, 외항은 3, 8이므로
       내항의 곱 ⇒ 4 × 6 = 24
       외항의 곱 ⇒ 3 × 8 = 24
       내항의 곱과 외항의 곱은 모두 24이므로 같다.
 
▶ 이와 같이 비례식에서 내항의 곱과 외항의 곱은 같다.

비례식 풀기

▶ 비례식 4 : 7 = □ : 21을 풀어 보자.
 

   ㆍ비례식은 내항의 곱과 외항의 곱이 같으므로
       (내항의 곱) = (외항의 곱)이다.

       양변을 7로 나누면

▶ 이와같이 비례식의 성질을 이용하여 비례식을 풀 수 있다.

비례식을 이용하여 문제 풀기

▶ 3분 동안에 5㎞를 달리는 자동차가 있다. 같은 빠르기로 27분 동안 달린다면 몇 ㎞를
    갈 수 있는지 알아보자.

    ① 구하려고 하는 것은 무엇인가? (27분 동안 달린 거리)
    ② 구하려고 하는 것을 □라고 하고 비례식을 세워 보자.

    ③ 내항의 곱과 외항의 곱은 같다는 비례식의 성질을 이용하여 비례식을 풀어 보자.

    ④ 27분 동안 몇 ㎞를 달리는가? ( 45㎞ )

띠그래프

▶ 전체에 대한 각 부분의 비율을 띠의 모양으로 나타낸 그래프를 띠그래프라고 한다.
 
▶ 다음은 성호네 반의 학급 문고의 책 수를 띠그래프로 나타낸 것이다.

    ㆍ성호네 반 학급 문고에 가장 많은 책은 어떤 종류인가? (동화책)
    ㆍ위인전은 전체의 몇 %를 차지하는가? (25%)
    ㆍ과학책과 역사책은 전체의 몇 %를 차지하는가? (25%)

띠그래프 그리기

▶ 승준이네 반 학생들이 가장 좋아하는 계절을 조사한 표이다. 띠그래프로 나타내어 보자.

 승준이네 반 학생들이 가장 좋아하는 계절

  ㆍ띠그래프로 나타내기 위하여 먼저 백분율을 구하여 보자.
  

  ㆍ백분율만큼 띠를 분할하고 각 항목의 이름을 쓴 후 백분율을 (   ) 안에 써서 띠그래프를
     완성한다.

원그래프

▶ 다음은 쌀 생산량을 지역별로 조사하여 그래프로 나타낸 것이다.

    ㆍ쌀 생산량이 가장 많은 지역은 부채꼴이 가장 큰 전라도이다.
    ㆍ기타를 제외하고 쌀 생산량이 가장 적은 지역은 부채꼴이 가장 작은 경기도이다.

▶ 이와 같이 전체에 대한 각 부분의 비율을 부채꼴 모양으로 나타낸 그래프를 원그래프
    라고 한다.

원그래프 그리기

▶ 다음 표는 하루에 발생하는 전체 쓰레기 양에 대한 종류별 쓰레기 양의 비율을 나타낸 표
    이다. 쓰레기 발생량을 원그래프로 나타내어 보자.

쓰레기 발생량

    ㆍ주어진 자료로 원그래프를 그리기 위해서는 먼저 각 부분의 백분율을 구해야 한다.

(음식물 쓰레기의 백분율) = ×100 = 45(%)

    ㆍ이와 같은 방법으로 각각의 백분율을 구해 원그래프를 그린다. 

쓰레기 발생량

    ㆍ구한 백분율을 이용하여 원그래프를 그리면 다음과 같다.

표 만들기

▶ 저금통에 든 50원짜리 동전과 100원짜리 동전 수를 세어 보니 모두 17개이고, 그 금액의
    합은 1200원이다. 50원짜리 동전과 100원짜리 동전의 개수는 각각 몇 개인지 다음과
    같이 표를 만들어서 알아보자.

50원짜리 동전 수	16	15	14	13	12	11	10
100원짜리 동전 수	1	2	3	4	5	6	7
합계 금액(원)	900	950	1000	1050	1100	1150	1200

    ㆍ50원짜리 동전은 10개이고, 100원짜리 동전은 7개이다.

식 만들기

▶ 명수와 현진이는 매일 우유를 각각 250mL와 400mL 마신다. 며칠 동안 거르지 않고
    우유를 마시고 보니 두 사람이 마신 우유의 양은 모두 3250mL이다. 명수와 현진이가
    며칠 동안 우유를 마셨는지 알아보자.
   
    ㆍ구하려고 하는 것은 우유를 마신 날 수이다.
    ㆍ명수와 현진이가 하루에 마신 우유의 양은 250 + 400 = 650(mL)이다.
    ㆍ조건에 알맞은 식을 세우면 3250 ÷ 650 = 5(일)이다.
    ㆍ그러므로 명수와 현진이는 5일 동안 우유를 마셨다.

거꾸로 풀기

▶ 민준이는 사탕을 가지고 있다. 여진이에게 7개를 주고, 창남이에게서 9개를 얻었다.
    남은 구슬을 동생과 똑같이 나누어 가졌더니 6개씩 가지게 되었다. 민준이는 처음에
    구슬을 몇 개 가지고 있었는지 다음과 같은 순서로 알아보자.   

    ㆍ동생과 나누어 가지기 전에는 몇 개를 가지고 있었는가? (12개)
    ㆍ창남이에게서 얻기 전에는 몇 개를 가지고 있었는가? (3개)
    ㆍ여진이에게 주기 전 맨 처음에는 몇 개를 가지고 있었는가? (10개)
  
▶ 답이 맞는지 검토하여 보자.

나뭇가지 모양 그림 그리기

▶ 1, 2, 3이 쓰여진 세 장의 숫자 카드를 한 번씩만 사용하여 만들 수 있는 세 자리 수는
    모두 몇 개인지 알아보자.
   
    ㆍ천의 자리에 1이 왔을 때, 세 자리 수는 다음과 같이 132, 123의 2개를 만들 수 있다.

    ㆍ천의 자리에 2가 왔을 때와 3이 왔을 때도 생각해 보자.

    ㆍ천의 자리에 2와 3이 왔을 때도 각각 2개를 만들 수 있으므로 모두 6개의 세 자리 수를
       만들 수 있다.
       즉, 만들 수 있는 세 자리의 수는 2×3 = 6(개)이다.