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중학교 / 1학년 / 수학 / 2학기

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강의 핵심요약 노트

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1.25

[자료설명]

V. 통 계 1. 자료의 정리 도수분포표 자료 전체를 몇 개의 계급으로 나누고, 각 계급에 속하는 도수를 조사하여 나타낸 표 키(cm) 학생수(명) 135 이상 ~ 140 미만 140 ~ 145 145 ~ 150 150 ~ 155 155 ~ 160 160 ~ 165 165 ~ 170 4 6 9 15 8 6 2 합 계 50 변량 - 자료를 수량으로 나타낸 것 몸무게 45kg, 키 162cm, 수학 성적 85점 계급 - 변량을 나눈 구간 (135-140, 140-145) 계급의 크기 - 구간의 나비(140-135 = 5) 계급값 - 계급을 대표하는 값으로 계급의 중앙값 (계급값) 도수 - 각 계급에 속하는 자료의 개수 도수분포표를 작성하는 순서 ㉠ 자료에서 최소값과 최대값을 찾는다. ㉡ 계급을 정한다. (계급의 개수는 ~개 정도) ㉢ 각 계급에 속하는 변량의 개수를 구한다. (이것을 각 계급의 도수라고 한다.) ㉣ 계급과 도수를 표로 작성한다. 도수분포표에서 평균 구하기 히스토그램 도수분포표에서 가로축에는 계급을, 세로축에는 도수와 가로축에는 각 계급의 크기를 표현하는 직사각형 그래프 히스토그램을 그리는 순서 ㉠ 계급을 가로축에 나타낸다. ㉡ 도수를 세로축에 나타낸다. ㉢ 각 계급의 크기를 가로로, 도수의 세로로 하는 직사각형을 차례로 그린다. 히스토그램의 직사각형의 넓이는 각 계급의 도수에 비례한다. (각 직사각형의 넓이)(계급의 크기)(각 도수) 도수분포다각형 히스토그램에서 각 직사각형의 윗변의 중점을 차례로 선분으로 연결하고 양 끝은 도수가 0인 계급을 하나씩 추가하여 그 중점과 연결해서 만든 그래프 *도수분포다각형 그리는 방법 1. 도수분포표를 보고 히스토그램을 그린다. 2. 직사각형의 윗변의 중점들을 선분으로 연결한다. 3. 양 끝은 도수가 0인 계급을 하나씩 추가하여 그 중 점을 연결한다. 도수분포다각형의 넓이는 히스토그램의 직사각형의 넓이의 합과 같다. 2. 자료의 관찰 상대도수 전체도수에 대한 각 계급의 도수의 비율 (각 계급의 상대도수) 상대도수의 분포표 : 각 계급의 상대도수를 구하여 만든 표 계급, 도수, 상대도수의 란을 만들어 표로 만든다. 상대도수가 필요한 경우 ㉠ 전체에 대한 어느 한 부분의 분포의 비율을 알고자 할 때 ㉡ 자료의 전체의 수가 다른 두 개 이상의 집단의 분포 상태를 비교하고자 할 때 상대도수의 합은 반드시 이다. 상대도수의 그래프 도수분포그래프에서와 같이 상대도수의 분포그래프에서도 히스토그램과 분포다각형을 생각할 수 있다. ① 상대도수의 히스토그램 모양의 그래프 ㉠ 가로축에 계급의 끝값을 나타낸다. ㉡ 세로축에 상대도수를 나타낸다. ㉢ 계급의 크기를 가로로, 상대도수를 세로로 하는 직사각형을 계급별로 그린다. ② 상대도수의 분포다각형 모양의 그래프 히스토그램 모양의 그래프를 이용하여 도수분포다각형을 만드는 것과 같은 방법으로 상대도수의 분포를 이용하여 만든 다각형 상대도수의 분포다각형 모양의 그래프를 그리는 순서 ㉠ 가로축에 계급을 나타낸다. ㉡ 세로축에 상대도수를 나타낸다. ㉢ 각 계급의 상대도수를 높이로 하는 직사각형을 차례로 그린다. ㉣ 각 직사각형의 윗변의 중점을 차례로 선분으로 연결하고 양 끝은 상대도수가 인 계급이 하나씩 더 있는 것으로 생각하여 그 중점을 연결한다. ③ 상대도수의 그래프의 성질 ㉠ 자료의 경향을 알아보거나 다른 자료와 비교하는데 편리하다. ㉡ (상대도수의 분포다각형의 넓이) (직사각형의 넓이의 합) (상대도수의 합) 누적도수 도수분포표에서 작은 계급의 도수부터 어떤 계급까지의 도수의 합 ① 누적도수의 뜻 : 도수분포표에서 처음 계급부터 어떤 계급까지의 각 계급의 도수를 차례로 더한 값 (각 계급의 누적도수) (앞 계급까지의 누적도수)(그 계급의 도수) 마지막 계급의 누적도수는 도수의 총합과 같다. 누적도수가 필요한 경우 ㉠ 자료를 정리하였을 때, 어떤 특정 자료의 순위를 알고자 할 때 ㉡ 어떤 특정 자료가 낮은 쪽에서부터 몇 번째 또는 높은 쪽에서부터 몇 번째인지를 쉽게 파악할 수 있다. 수학 성적(점) 누적도수 50 이상 ~ 60 미만 60 ~ 70 70 ~ 80 80 ~ 90 90 ~ 100 7 16 36 48 50 누적도수의 분포다각형 - 가로축에 계급, 세로축에 누적도수 도수분포다각형처럼 그린 그래프 * 마지막 계급의 누적도수는 도수의 총합과 같다. ※ 위의 누적도수의 그래프에서 알 수 있는 것 1. 점수가 낮은 쪽에서부터 몇 번째의 성적을 알 수 있다. 2. 전체 학생 수를 쉽게 파악할 수 있다. 3. 선분의 길이가 길수록 그 계급의 도수가 많음을 알 수 있다.(도수가 가장 큰 계급 : 60점 이상 70점 미만) ② 누적도수의 분포다각형 모양의 그래프를 그리는 방법 ㉠ 세로축에는 계급의 끝값을 표시한다. ㉡ 세로축에는 누적도수를 표시한다. ㉢ 각 계급의 큰 쪽의 끝값과 그 계급까지의 누적도수를 순서쌍으로 하는 점을 나타낸다. ㉣ 이 때, 맨 처음 계급의 처음값에 도수가 이 되는 점을 찍는다. ㉤ 각 점을 차례로 선분으로 연결한다. VI-1. 평면도형(1) 1. 점·선·면 점·선·면 사이의 관계 교점 : 선과 선 또는 선과 면이 만나서 생기는 점 교선 : 면과 면이 만나서 생기는 선 ▶ 삼각형이나 원과 같이 한 평면 위에 있는 도형을 평면도형이라 하고, 각기둥이나 구와 같이 한 평면 위에 있지 않는 도형을 입체도형이라 하는데, 이들은 모두 점, 선, 면으로 이루어져 있다. 선 ▶직선 : 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선은 오직 하나이고 이것을 직선 AB 라 하고, 로 나타낸다. ▶반직선 : 점 A에서 시작하여 점 B 쪽으로 뻗어가는 직선의 부분을 반직선 AB 라 하고, 로 나타낸다. ▶선분 : 직선 AB의 점 A에서 점 B까지의 부분을 선분 AB 라 하고,로 나타낸다. 선분 AB의 길이도 로 나타낸다. ▶두 점 A, B를 양 끝으로 하는 무수히 많은 선 중 길이가 가장 짧은 것이 선분 AB이다. 이 선분 AB의 길이를 두 점 A, B 사이의 거리라고 한다. 평면의 결정 조건 1. 한 직선 위에 있지 않은 세 점 2. 한 직선과 그 직선 밖의 한 점 3. 만나는 두 직선 4. 평행한 두 직선 ▶ 평면을 그림으로 나타낼 때는 평면의 일부인 평행사변형을 그리고, 평면ABCD로 나타내거나 대문자를 붙여 평면 P, 평면 Q 등으로 나타낸다. ２-１.평면도형의 성질 ※ 도형의 성질 1. 평면도형 ◎ 다각형 ⑴ 다각형 : 세 개 이상의 선분으로 둘러싸인 평면도형 ⑵ 정다각형 : 모든 변의 길이와 모든 내각의 크기가 각각 같은 다각형 ⑶ 외각 : 다각형의 각 꼭지점에서 한 변과 그 변에 이웃하는 변의 연장선이 이루는 각 ⑷ 대각선 : 다각형에서 이웃하지 않는 두 꼭지점을 이은 선분 ① 각형의 한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선은 개 ② 각형의 대각선은 개다. ◎ 원과 부채꼴 ⑴ 원, 중심 : 한 점 로부터 일정한 거리에 있는 모든 점들의 집합을 원이라고 하고 점 를 원의 중심이라 한다. ⑵ 호 : 원에서 원 위의 두 점 사이의 부분을 호라고 한다. 호 ⑶ 현 : 원 위의 두 점을 이은 선분 ⑷ 부채꼴 : 두 반지름과 호로 이루어진 도형 ⑸ 활꼴 : 호와 그것에 대한 현으로 이루어진 도형 ⑹ 중심각 : 두 반지름이 이루는 각을 두 반지름 사이의 호에 대한 중심각이라고 함. ◎ 원과 직선의 위치 관계 ⑴ 활선 : 원과 두 점에서 만나는 직선 ⑵ 접선 : 직선이 원과 한 점에서 만나면 그 원에 접한다고 하며, 이 직선을 원의 접선이라고 한다. ⑶ 접점 : 접선과 원이 만나는 점 2. 각 각 한 점 O에서 시작한 반직선 OA. OB로 이루어진 도형 • 예각 : 0°보다 크고 90°보다 작은 각 • 직각 : 90°인 각, ∠R 로 표시 • 둔각 : 90°보다 크고 180°보다 작은 각 • 평각 : 180°인 각 ▶ 각을 나타내는 기호 : ∠AOB, ∠BOA, ∠O, ∠a ,… 맞꼭지각 ▶맞꼭지각 : 두 직선이 만나서 생기는 네 개의 각 중 서로 마주 보는 각 ∠a 와 ∠c, ∠b 와 ∠d ▶맞꼭지각의 크기는 서로 같다. ∠a = ∠c, ∠b = ∠d 수직이등분선 • 교각 : 두 직선이 만날 때 생기는 각 • 수직 : 교각이 직각인 두 직선을 서로 수직이라 하고, 이 때 한 직선은 다른 직선의 수선이라 하며 두 직선이 만나는 점을 수선의 발이라 한다. • 수직이등분선 : 선분의 중점을 지나 이 선분에 수직인 직선 ▶ 직선 AB 밖의 점 C에서 위의 점에 그은 선분 중 길이가 가장 짧은 것은 C에서의 수선의 발과 C를 이은 선분이다. 이 선분의 길이를 점 C와 직선 AB 사이의 거리라고 한다. 3. 평행선의 성질 동위각과 엇각 두 직선이 한 직선과 만날 때 생기는 8개의 각 중에서 • 동위각 : 같은 위치에 있는 두 각 • 엇 각 : 엇갈려 위치한 두 각 ▶동위각 : ∠a 와 ∠e, ∠b 와 ∠f,∠c 와 ∠g,∠d 와 ∠h ▶엇각 : ∠c 와 ∠e, ∠d 와 ∠f 평행선의 성질과 조건 ▶평행한 두 직선이 한 직선과 만날 때 동위각과 엇각의 크기는 각각 같다. ▶동위각 또는 엇각의 크기가 같으면 두 직선은 평행하다. 평면에서 두 직선의 위치 관계 4. 도형의 작도 각의 이등분선의 작도 ① 점 O를 중심으로 적당한 원을 그려서, 반직선 OA, 반직선 OB와의 교점 C, D를 잡는다. ② 점 C, D를 중심으로 반지름이 같은 원을 각각 그려서 교점을 P라 한다. ③ 점 O와 P를 연결하면 반직선 OP가 구하는 ∠AOB의 이등분선이다. 각의 옮김 ① 점 O를 중심으로 적당한 반지름의 원을 그려 반직선 OX, 반직선 OY와의 교점을 각각 A, B라 한다. ② 점 E를 줌심으로 ①과 같은 반지름의 원을 그려 반직선 EZ와의 교점 Q를 잡는다. ③ 컴퍼스로 선분 AB의 길이를 잡아 선분 AB를 반지름, 점 Q를 중심으로 원을 그려 ②에서 그린 원과의 교점 P를 잡는다. ④ 점 E와 P를 지나는 EP를 그으면 ∠PEQ가 구하는 각이다. 5.도형의 합동 도형의 합동 • 대응변의 길이가 서로 같다 • 대응각의 크기가 서로 같다 삼각형의 합동조건 두 삼각형은 다음의 각 경우에 합동이다. 1.대응하는 세변의 길이가 각각 같다. 2.대응하는 두변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같다. 3.대응하는 한변의 길이가 같고, 그 양끝각의 크기가 각각 같다. VI-2. 평면도형(2) 1. 삼각형 삼각형 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C 와 선분 AB, 선분 BC, 선분 CA로 이루어진 도형을 삼각형 ABC (또는 △ABC )라고 한다. ▶삼각형의 두 변의 길이의 합은 나머지 한 변의 길이보다 크다. 삼각형의 내각과 외각 ▶삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180°이다. ▶삼각형의 외각의 크기의 합은 360°이다. ▶삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다. 2. 다각형 n각형의 대각선의 개수 ▶한 꼭지점에서 그을 수 있는 대각선의 개수 : (n-3) 개 ▶대각선의 총수 : 다각형의 내각과 외각의 크기의 합 ▶(n각형의 내각의 크기의 합) = 180°×(n-2) ▶(n각형의 외각의 크기의 합) = 360° 정다각형 모든 변의 길이가 같고 모든 내각의 크기가 같은 다각형 ▶(정n각형의 한 내각의 크기) = ▶(정n각형의 한 외각의 크기) = ※ 도형의 측정 1. 평면도형의 측정 ◎ 다각형의 내각과 외각 ⑴ 삼각형의 내각과 외각 ① 삼각형의 세 각의 크기의 합은 이다. ② 삼각형의 한 외각의 크기는 이와 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합과 같다. ⑵ 다각형의 내각․외각의 크기의 합 ① 각형의 내각의 크기의 합 = ② 각형의 외각의 크기의 합은 ⑶ 정다각형의 한 내각․외각의 크기 ① 정다각형의 한 내각의 크기 = ② 정다각형의 한 외각의 크기 = 3. 원과 부채꼴 중심각의 크기와 호의 길이 한 원 또는 합동인 두 원에서 ▶같은 크기의 중심각에 대한 호의 길이는 같다. ▶호의 길이는 중심각의 크기에 비례한다. 중심각과 현의 길이 한 원 또는 합동인 두 원에서 ▶같은 크기의 중심각에 대한 현의 길이는 같다. ▶현의 길이는 중심각의 크기에 비례하지 않는다. ◎ 부채꼴의 호의 길이와 넓이 ⑴ (원주율) : (원주)÷(원의 지름)의 값인 원주율은 항상 일정하고 기호로 와 같이 나타낸다. … ⑵ 원의 원주와 넓이 반지름의 길이가 인 원에서 ① 원주 : ② 넓이 : ⑶ 부채꼴의 호의 길이와 넓이 반지름의 길이가 , 중심각의 크기가 인 부채꼴에서 ① 호의 길이 : ② 부채꼴의 넓이 : 4. 원과 직선 원과 직선의 위치 관계 1. 두 점에서 만난다. 2. 한 점에서 만난다. 3. 만나지 않는다. 원과 접선 1. 접선의 성질 원의 접선은 그 접점과 원의 중심을 연결하는 선분(반지름)에 수직이다. 2. 접선의 길이 : 원의 외부의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다. ▶ ▶ △POT ≡ △POT` ▶ ∠TPT` + ∠TOT` = 180° 5. 부채꼴의 호의 길이와 넓이 원주와 원의 넓이 반지름의 길이가 r인 원에서 1. 원주 l = 2πr 2. 원의 넓이 S = πr2 부채꼴의 호의 길이와 넓이 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 x°라 하면 1. 호의 길이 : l = 2πr ×(x / 360 ) 2. 부채꼴의 넓이 : s =πr2 ×( x / 360 ) s = 1/2×rl VII. 입체도형 1. 직선과 평면 공간에서 두 직선의 위치 관계 1. 평행하다 2. 만난다. 3. 꼬인 위치에 있다. ▶ 꼬인 위치 : 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않다. 공간에서 직선과 평면의 위치 관계 1. 직선이 평면에 포함된다. 2. 한 점에서 만난다. 3. 평행하다. 공간에서 두 평면의 위치 관계 1. 만난다. 2. 평행하다. 3. 일치한다 2. 다면체 1. 입체도형 ◎ 다면체 ⑴ 다면체 : 다각형인 면으로만 둘러싸인 입체도형 ⑵ 각뿔대 : 각뿔을 그 밑면에 평행한 평면으로 잘라 생기는 두 입체도형 중에서 각뿔이 아닌 쪽의 다면체 ⑶ 정다면체 : 다면체 중에서 모든 면이 서로 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에서 모여 있는 면의 개수가 같은 다면체 ◎ 회전체 ⑴ 회전체 : 평면도형을 한 직선을 축으로 하여 회전시킬 때 생기는 입체도형 ⑵ 구 : 반원을 지름을 축으로 하여 회전시킬 때 생기는 입체도형 ⑶ 회전체의 성질 ① 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 그 잘린 면은 항상 원이다. ② 회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자르면 그 잘린 면은 회전축에 대하여 선대칭도형이며, 모두 합동이다. ⑷ 원뿔대 : 원뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 두 입체도형 중에서 원뿔이 아닌 쪽 다면체 다각형의 면으로만 둘러싸인 입체도형 1. 각기둥 두 밑면은 평행하면서 합동인 다각형이며, 옆면은 모두 직사각형인 다면체 2. 각 뿔 : 밑면은 다각형이고 옆면은 모두 삼각형인 다면체 3. 각뿔대 : 각뿔을 밑면에 평행한 평면으로 잘라서 생기는 입체도형 중에서 각뿔이 아닌 쪽의 다면체 정다면체 1. 각 면이 모두 합동인 정다각형이고, 각 꼭지점에 모인 면의 개수가 같은 볼록한 다면체 2. 정다면체의 종류 정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체 다면체 정사면체 정육면체 정팔면체 정십이면체 정이십면체 꼭지점의 수 4 8 6 20 12 모서리의 수 6 12 12 30 30 면의 수 4 6 8 12 20 면의 모양 정삼각형 정사각형 정삼각형 정오각형 정삼각형 3. 회전체 회전체 1. 평면도형을 한 직선을 축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형 2. 회전체의 종류 : 원뿔, 원기둥, 구, … 회전체의 성질 1. 회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자르면 그 단면은 항상 원이다. 2. 회전체를 회전축을 포함한 평면으로 자르면 그 단면은 서로 합동이며, 회전축에 대하여 선대칭이다. 4. 입체도형의 겉넓이와 부피 기둥의 겉넓이와 부피 겉넓이 1. (각기둥의 겉넓이) = (밑넓이) × 2 + (옆넓이) 2. (원기둥의 겉넓이) = (밑넓이) × 2 + (옆넓이) = 2πr2 + 2πrh r : 밑면의 반지름, h : 높이 ▶ 겉넓이는 전개도를 이용하여 구한다. 부피 1. (각기둥의 부피) = (밑넓이) × (높이) 2. (원기둥의 부피) = πr2 h r : 밑면의 반지름, h : 높이 ▶ 기둥의 부피 = (밑넓이) × (높이) 뿔의 겉넓이와 부피 겉넓이 1. (각뿔의 겉넓이) = (밑넓이) + (옆넓이) 2. (원뿔의 겉넓이) = πr2 + πrl r : 밑면의 반지름, l : 모선의 길이 ▶ 겉넓이는 전개도를 이용하여 구한다. 부피 1. (각뿔의 부피) = 1/3 × (밑넓이) × (높이) 2. (원뿔의 부피) = 1/3πr2 h r : 밑면의 반지름, h : 높이 구의 겉넓이와 부피 반지름이 r인 구에서 겉넓이 = 4πr2 부피 = 4/3πr3 1. 입체도형의 측정 ■■ 기둥의 겉넓이와 부피 ⑴ 기둥의 겉넓이 (기둥의 겉넓이)(밑넓이)× 2 +(옆넓이) ⑵ 기둥의 부피 ① (각 기둥의 부피)(밑넓이)×(높이) ② 반지름의 길이가 높이가 인 원기둥의 부피는 ■■ 뿔의 겉넓이와 부피 ⑴ 뿔의 겉넓이 ① (각뿔의 겉넓이)(옆넓이)(밑넓이) ② 반지름의 길이가 모선의 길이가 인 원뿔의 겉넓이는 ⑵ 뿔의 부피 ① (각뿔의 부피)(밑넓이)(높이) ② 반지름의 길이가 높이가 인 원뿔의 부피는 ■■ 구의 겉넓이와 부피 ⑴ 구의 겉넓이 반지름의 길이가 인 구의 겉넓이는 ⑵ 구의 부피 반지름의 길이가 인 구의 부피는