[자료설명]
Ⅰ. 집합과 수체계
1 . 집합과 명제
(1) 집합의 포함관계
① ⊂A , A⊂A
② A⊂B , B⊂A 이면 A = B
③ A⊂B , B⊂C 이면 A⊂C
▶n(A) = m 인 A의 부분집합의 개수 : 2n
n(A) = m 인 특별한 원소 a 개 포함하는 부분집합의 개수 : 2n-a
(2) 집합의 연산법칙
① 교환법칙 : A∪B = B∪A , A∩B = A∩B A-B = B-A
② 결합법칙 : (A∪B)∪C = A∪(B∪C)
(A∩B)∩C = A∩(B∩C)
③ 분배법칙 : A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
④ 흡수법칙 : (A∪B)∩A = A , (A∩B)∪A = A
⑤ 드 모르간의 법칙 : (A∪B)c = Ac∩Bc , (A∩B)c = Ac∪Bc
⑥ 포함관계 : A⊂(A∪B) , A⊃(A∩B)
⑦ 여집합과 차집합의 관계
(Ac)c=A , c=U , Uc= , A∪Ac=U , A-B=A∩Bc
⑧ A★B = (A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B)
(3) 명제와 조건
① 명제와 진리집합 : 조건 p, q의 진리집합을 각각 P, Q라고 하면, (p q) (P⊂Q) , (p q) (P=Q)
② p q의 참, 거짓 판별(p,q의 진리집합 P,Q)
P⊂Q 이면 참(x∈p 이면 x∈Q)
P Q 이면 거짓( x∈p, x Q)이 존재한다.( )
(4) 명제의 역, 이, 대우
① 명제 p q 에 대하여
역 : q p 이 : ∼p ∼q 대우 : ∼q ∼p
명제 p q가 참이면 역이나 이는 참이 아닐 수 있지만,
대우 ∼q ∼p는 반드시 참이다.
② 명제 p(x) q(x) 가 참일 때, p와 q를 만족시키는 원소의 집합을 P, Q라 하면 P⊂Q 이고, p q의 대우 ∼q(x) ∼ q(x)도 참이므로 Qc⊂Pc이다.
(5) 필요조건과 충분조건
① p q 가 참일 때 p q 로 나타낸다.
② p q 일 때, q를 p이기 위한 필요조건, p를 q이기 위한 충분조건이라고 한다.
③ p q 이고 q p 일 때, p는 q이기 위한 필요충분조건이라 하고 p q 로 나타낸다.
이 때, p와 q는 동치라고 한다.
2 . 수체계
(1) 실수의 연산
① 닫힌 성질
a, b∈R a b∈R R은 연산 에 대하여 닫혀 있다.
R은 , , , (0으로 나누는 것 제외)
② 교환 법칙 a*b=b*a
a+b = b+a , ab = ba
③ 결합법칙 (a*b)*c = a*(b*c)
(a+b)+c = a+(b+c)
(ab)c = a(bc)
④ 항등원 a e = e a = a , e : 항등원
a+e = e+a = a , 0 : 덧셈에 대한 항등원
ae = ea = a , 1 : 곱셈에 대한 항등원
⑤ 역원 a x = x a = e(항등원)
x는 에 대한 a의 역원
a의 덧셈이 대한 역원 -a
a의 곱셈에 대한 역원 -1
(2) 실수의 대소 관계
① 실수 a에 대해 다음 중 어느 하나가 성립된다.
a>0 , a=0 , a<0
② 두 수 a, b의 대소 관계
a>b a-b>0 a=b a=b a<b a-b<0
③ a>0, b>0 일 때 a+b>0 , ab>0 , { a} over {b } >0
a<0, b<0 일 때 a+b<0 , ab>0 , { a} over {b } >0
④ a<b , b<c a<c
⑤ a<b 일 때 a+c<b+c , a-c<b-c
a<b , c>0 이면 ac<bc ,
{ a} over {c } < { b} over {c } a<b , c<0 이면 ac>bc ,
{ a} over {c } > { b} over {c }
(3) 복소수의 상등
a, b, c, d 가 실수일 때
① a+bi = 0 a=0이고 b=0
② a+bi = c+di a=c이고 b=d
(4) 복소수의 연산
a, b, c, d 가 실수일 때
① (a+bi) (c+di) = (a c)+(b d)i
② (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i
③ (a+bi)(a-bi) = a2+b2
④ { a+bi} over {c+di } = { ac+bd} over { { c}^{2 }+ { d}^{2 } } + { bc-ad} over { { c}^{2 }+ { d}^{2 } }i
(단, c+di 0)
Ⅱ . 식과 그 연산
1 . 다항식의 사칙연산
(1) 곱셈 공식
① (a+b)2 = a2+2ab+b2 , (a-b)2 = a2-2ab+b2
② (a+b)(a-b) = a2-b2
③ (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3
④ (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 , (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3
⑤ (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca
⑥ (a2+ab+b2)(a2-ab+b2) = a4+a2b2+b4
⑦ (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) = a3+b3+c3-3abc
(2) 곱셈 공식의 변형
① a2+b2 = (a+b)2-2ab = (a-b)2+2ab
② (a-b)2 = (a+b)2-4ab , (a+b)2 = (a-b)2+4ab
③ a3+b3 = (a+b)3-3ab(a+b) , a3-b3 = (a-b)3+3ab(a-b)
④ a2+b2+c2-ab-bc-ca = { 1} over {2 } (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2
⑤ a2+b2+c2 = (a+b+c)2-2(ab+bc+ca)
2 . 항등식과 나머지정리
(1) 항등식
① ax+b = 0 이 x에 대한 항등식 a=0 b=0 ( :and)
② ax+b = cx+d 가 x에 대한 항등식 a=c b=d
③ ax2+bx+c=0 a=b=c=0
④ ax2+bx+c=a'x2+b'x+c a=a' , b=b' , c=c'
(2) 나머지정리와 인수정리
① 나머지정리
f(x)를 x- 로 나눈 나머지 f( )
f(x)를 ax+b로 나눈 나머지 f(- { b} over {a } )
② 인수정리
f(x)가 x- 로 나누어 떨어진다. f( )=0 f( )=0 f(x) = (x- )Q(x)
f(x)는 x- 의 인수를 갖는다.
3 . 인수분해
(1) 인수분해 공식
① a2+2ab+b2 = (a+b)2 , a2-2ab+b2 = (a-b)2
② a2-a2 = (a+b)(a-b)
③ x2+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)
④ x3+3x2y+3xy2+y3 = (x+y)3 , x3-3x2y+3xy2-y3 = (x-y)3
⑤ x3+y3 = (x+y)(x2-xy+y2) , x3-y3 = (x-y)(x2+xy+y2)
⑥ x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx = (x+y+z)2
⑦ x3+y3+z3-3xyz = (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)
⑧ x4+x2y2+y4 = (x2+xy+y2)(x2-xy+y2)
⑨ x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc = (x+a)(x+b)(x+c)
(2) 두 개 이상의 문자를 포함한 식의 인수분해
① 차수가 같을 때 : 어느 한 문자로 정리
② 차수가 다를 때 : 낮은 차수로 정리
4 . 약수와 배수
(1) 약수와 배수
두 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 하면
① A=aG , B=bG (a, b는 서로 소)
② L=abG ③ AB=aG·bG=abG·G=LG
④ A+B, A-B, AB에도 G가 인수로 들어있다.
(2) 양의 약수의 개수와 총합
A=plqmrn(p, q, r은 서로 다른 소수, l, m, n은 자연수)
① 약수의 개수 : (l+1)(m+1)(n+1)개
② 약수의 총합 : (1+p+p2+ CDOTS +pl)(1+q+q2+ CDOTS +qm)(1+r+r2+ CDOTS +rn)
5 . 유리식
(1) 유리식의 계산
A, B, C, D가 다항식일 때
① { A} over {B } = { A C} over {B C } , { A} over {B } = { A C} over {B C }
② { A} over {B } = { C} over {B } { A C} over {B } , { A} over {B } { AC BD} over {BC }
③ { A} over {B } = { D} over {C } { AD} over {BC } , { A} over {B } = { D} over {C }
{ A} over {B } = {C } over {D } { AC} over {BD }
④ 번분수식 : { { D} over {C} } over { { A} over {B } } = { BD} over {AC }
⑤ 부분 분수 :
{ 1} over {AB } = { 1} over {B-A } ( { 1} over {A } - { 1} over {B } ) . . . A<B이면 계산이 편리
(2) 비례식
a:b = c:d ad=bc { a} over {b } = { c} over { d} 일 때 b, d 0
① { a b} over {b } = { c d} over {d }
② { a+b} over {a-b } = {c+d } over {c-d }
③ 가비의 리 :
{ a} over {b } = { c} over { d} = { e} over {f } = {a+c+e } over {b+d+f } = {pa+qc+re} over {pb+qd+rf }
(단, b+d+f 0, pb+qd+rf 0)
6 . 무리식
(1) 제곱근의 성질
① SQRT { a2} = LEFT | a RIGHT | = a(a 0) -a(a<0)
② SQRT { a} SQRT { b} = SQRT { ab} , SQRT {a} SQRT { b} =- SQRT {ab } (a<0, b<0)
③ { SQRT { a} } over { SQRT { b} } = SQRT { {a } over {b } }
{ SQRT { a} } over { SQRT {b } } = - SQRT { { a} over {b } } (a>0, b<0)
(2) 무리식
① 분모의 유리화 (a>0 , b>0)
{ a} over { SQRT {b } } = { a SQRT {b } } over {b }
{c } over { SQRT {a }- SQRT {b } } = {c( SQRT { a}+ SQRT { b}) } over {a-b }
② 이중근호 (x>y>0)
SQRT {(x+y)+2 SQRT {xy } } = SQRT { x} + SQRT { y}
SQRT {(x+y)-2 SQRT { xy} } = SQRT { x} - SQRT { y}
③ 무리수의 상등
a, b, c, d가 유리수이고 SQRT { m} 이 무리수일 때
a+b SQRT {m } =0 a=0이고 b=0
a+b SQRT { m} = c+d SQRT {m } a=c이고 b=d
Ⅲ . 방정식과 부등식
1 . 이차방정식
(1) 이차방정식의 해
① 인수분해 이용 : (x- )(x- )=0 x= 또는 x=
② 근의 공식
b가 홀수일 때 : x= {-b SQRT { { b}^{2 }-4ac } } over {2a }
b가 짝수일 때 : x= { -b' SQRT { { b'}^{2 } -ac} } over {a }
(2) 이차방정식의 근의 성질
이차방정식 ax2+bx+c=0에 대해 판별식 D=b2=4ac라 하면
① D>0 서로 다른 두 개의 실근
② D=0 중근
③ D<0 서로 다른 두 허근
④ 이차방정식이 실근을 가질 조건은 D 0이다.
(3) 이차방정식의 근과 계수와의 관계
① 이차방정식의 ax2+bx+c=0의 두 근을 , 라 하면
+ =- { b} over {a } = { c} over {a }
LEFT | alpha - beta RIGHT | = { SQRT { { b}^{2 }-4ac } } over { LEFT | a RIGHT | }
② 두 근이 , 인 이차방정식은 (x- )(x- )=0에서
x2-( + )x+ =0 x2-(합)x+(곱)=0
2 . 여러 가지 방정식
(1) 삼, 사차방정식의 해법
① 인수정리를 이용
f( )=0이면 (x- )Q(x)=0
Q(x)는 조립제법을 이용해서 구한다.
② 삼차방정식의 근과 계수와의 관계
ax3+bx2+cx+d=0의 세 근을, 라 하면
+ + =- { b} over {a } + + = { c} over {a } =- { d} over {a }
③ 상반방정식 : 계수와 대칭을 이루는 방정식
짝수차 : { x}^{2 } 으로 나누어 { x}^{ } + { 1} over {x } =t와 치환해서 푼다.
홀수차 : 한 근이 { x}^{ } =-1이다.
(2) 연립일차방정식
ax+by+c=0 , a'x+b'y+c'=0
① { a} over {a' } ; x= { b} over {b' } { bc'-b'c} over {ab'-a'b }
y= { ca'-c'a} over {ab'-a'b }
② { a} over {a' } = { b} over {b' } = { c} over {c' } ; 해가 무수히 많다.
③ { a} over {a' } = { b} over {b' } ; 해가 없다. { c} over {c' }
(3) 연립이차방정식
① 일차식=0 , 이차식=0 일 때
일차식을 이차식에 대입
② 이차식=0 , 이차식=0 일 때
둘 중 하나가 인수분해될 때, 인수분해해서 이차식에 대입
③ 이차식=0 , 이차식=0 일 때
인수분해가 되지 않을 때, 최고차항을 소거하거나 상수항 소거
(4) 부정방정식 : 실근 조건 D 0, A2+B2=0 A=B=0를 이용하거나 (일차식) (일차식)=(정수) 꼴로 변형하여 정수조건을 이용한다.
3 . 부등식
(1) 부등식 ax>b의 해
① a>0일 때 : x> { b} over {a }
② a<0일 때 : x< { b} over {a }
③ a=0, b 0일 때 : 해없다. ④ a=0, b<0일 때 : 해는 모든 실수
(2) 중요한 부등식의 성질
① a>b>0 { 1} over {a } < { 1} over {b }
② a>0, b>0일 때 a<b a2<b2
③ LEFT | x RIGHT | <p(p>0) -p<x<p
④ LEFT | x RIGHT | >p(p>0) x<-p or x>p
(3) 이차부등식의 해법
① ax2+bx+c=0(a>0)이 서로 다른 두 실근 , ( < )를 가질 때
ax2+bx+c<0 <x<
ax2+bx+c>0 x< or x>
② ax2+bx+c=0의 D=b2-4ac 0 일 때는 완전제곱식으로 변형하여 푼다.
(4) 이차방정식의실근의 부호
이차방정식이 ax 2+bx+c=0의 두 실근을, 라 하면
① 두 근이 모두 양 D 0 , + <0 , >0
② 두 근이 모두 음 D 0 , + <0 , >0
③ 한 근은 양, 다른 근은 음 <0
(5) 이차부등식이 항상 성립할 조건
① 모든, 라 하면 �+ , 라 하면 �+ -b)3
② 모든 x에 대하여 ax2+bx+c<0 a<0, D<0
(6) 절대부등식
① a2 2ab+b2 0 (단, 등호는 a= b일 때 성립)
② a2+b2+c2 ab+bc+ca (단, 등호는 a=b=c일 때 성립)
③ (x2+y2)(x2+y2) (ax+by)2
④ a>0, b>0 일 때 : { a+b} over {2 } (a=b일 때 등호 성립)
SQRT { ab} { 2ab} over {a+b }
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